张冬梅和她的“亲和数学”
张冬梅
江苏省特级教师，全国科研优秀工作者，南京市琅琊路小学教师发展中心主任，近年来，应邀在全国各地执教公开课 300 多节， 发表文章 400 多篇。其课堂教学以“亲和”为特色，主张“亲和数学亲和学”。
观察小学数学特级教师张冬梅的许多经典课例，会发现它们有着十分鲜明的特点——亲和、智慧。
“自从国家开展阳光体育运动以来，全国各地的小朋友都在积极参加体育活动。瞧，在一个星期天的早晨，小红和哥哥小明正在跑步呢！小红说‘我跑2圈’，小明说‘我跑4圈’，每圈跑道长400米。同学们，根据以上信息，你能提出哪些数学问题？”
在某次讨会上，张冬梅通过声画合一的教学手法将学生迅速引入《整百数乘一位数口算》的学习中。学生们争相发言：“小明要跑多少米？”“小红跑了多少米？ ”“他们一共跑多少米？ ”……
接着，她又引导学生思考“怎么算？为什么这样算？”巧妙、自然地将算法与算理教学融合在一起。在生动的情境和有趣的数学活动中，学生主动思考、热情探究，不知不觉便掌握了整百数乘一位数的口算方法，还在新旧知识间建立起了合理的联系，认知结构也在此过程中得以完善。
张冬梅认为，数学是一门抽象性、逻辑性很强的学科，但是数学在儿童眼中不应该是“冷冰冰”的，而应是“温柔、亲近”的。因此，她主张“亲和数学亲和学”，而这份主张与师父张兴华的点拨不无关系。
张兴华告诉她，在小学数学学习中，学习主体（学生）与客体（数学）常常是对立的。为解决这一矛盾，以往的教育教学研究更多是从学习主体入手，突出如何发挥学生的自主性、能动性和创造性，而忽略了对数学本身的关注。张冬梅在课堂上亲和力强，又善于在抽象的数学与具象的儿童思维之间架设桥梁，这恰恰能较好地解决学习主客体相对立的问题。
“也许大多数人以为‘亲和数学’大概是指和谐的师生关系和融洽的课堂氛围而已，其实‘亲和数学’更深层次的含义是指数学本身的亲和。”张冬梅认为，教学要展现数学本身的亲和，教师不仅要充分发挥自身的能动性与创造性，理性且深刻地把握教学内容，更多地关注教学的数学化过程，还要站在儿童的立场，对儿童数学学习进行理性气质的塑造。
以概念教学为例，张冬梅以学生的生活经验为基点，通过丰富、有效的数学活动让学生亲历概念的形成过程，充分挖掘数学的“亲和力”，让学生深刻理解概念并能运用概念。
在《米》 一课中，她围绕“米”的感知设计了多个教学活动，让学生在一次次猜测、估计、测量、验证的过程中，逐渐在脑海中建立1米的表象。
课始，她让学生从身高入手，通过“在老师身上贴1米高的标签”、“用剪刀剪下估计的1米长的彩带”两个环节，初步获得 “1米有多长”的感受。
课中，她安排了大量的实际操作活动，让学生和精确的“1米”打交道，用“自己身上的1米”来修正课前已有的粗浅认识，在脑海中形成“1米”的精准表象，还让学生“闭 上眼睛，想一想，1米有多长”，进一步深化表象。随后，她提出“在教室里找一找，哪些物体的长大约是1米”“生活中哪些物体的长大约是几个1米？”等问题，让数学回到现实，让学生体验数学就在身边，数学是真实有用的。
课末，还设计了“离智慧爷爷有多远”的拓展活动（学生以老师为中心，围成半径为 1 米的圆），让学生实际感受了1米的长度概念，并为后面学习“圆”做了巧妙的铺垫。
在《分米和毫米》一课中，张冬梅则让学生亲历了创造毫米的过程。为什么要产生毫米？毫米又是怎么产生的？这些数学问题，如果单纯跟学生说教，学生很难理解。张冬梅从学生学过的长度单位“米”和“厘米”出发，让学生用“厘米”来量作业本的厚度。
《分米和毫米》的教学片段
师：老师给每个同学送了一把1厘米的小尺(硬纸板剪)，请同学们用这把小尺量一量练习本的厚度。
(学生动手量， 一会儿有了情不自禁的议论声。)
师：怎么啦？
生1：这把小尺量练习本的厚度不管用。
生2：练习本比1厘米还要薄，量不起来。
师：哦，这样啊！那我们能不能给这把“厘米尺”动动“手术”，让它量练习本的厚度时也管用呢？拿出你们的笔，给小尺动动“手术”吧。
(学生有的把小尺平分成了2份，有的平分成了3份， 有的平分成了4份……也有一些学生从学具盒里拿出学生尺，对着毫米刻度线，把1厘米平分成了10份，当然也有个别孩子没有想出方法。)
师： 我们来分享一下我们的思考。
(学生在实物投影上展示作品，并解释)
生1：我把这1厘米的小尺平分成了2份，练习本的厚度是1份差一些。
生2：我把这1厘米的小尺平分成了3份， 练习本的厚度大约是2份左右。
生3：我把这1厘米的小尺平分成了4份，练习本的厚度大约是2份。
生4：我把这1厘米的小尺平分成了10份，练习本的厚度大约是4份。
……
师：同学们用不一样的方法解决了问题，咦，这不一样的方法中有什么相同的地方吗？
生1：他们都是把1厘米分一分。
生2：他们都把1厘米分得更小一些。
师：是的，他们都想通过分一分，分出比1厘米更小的单位。知道吗？此时此刻，老师特别感动，数学家就是像你们这样，通过分一分得到一个比厘米更小的单位——毫米。
……
“给1厘米的小尺‘动动手术’”，一个童趣化的提议，就有了学生精彩的创造：把“1厘米”的小尺分一分，得到了一个新的长度单位，尽管有的学生把1厘米等分成了2份，有的等分成3份、5份，但可贵的是：大家都想到了可以分！即使是那个“手足无措”的孩子，这1分钟里也绝对不是“空白”。学生的认识在交流中得到升华，体会到事物是可以创造的，数学知识并不是高不可攀的，它跟其他事物一样，因为需要而产生，也可以因为需要而不断发展。“毫米”的产生是如此自然而亲切，这才是亲和数学的魅力，才是亲和数学真正的“亲和味”。
“亲和数学”一定要“亲和学”，而后者正体现了教与学的智慧，其内涵在于让学生用自己的方式，研究自己感兴趣的问题，从而获得数学知识，并学会“数学思考”。
“你还想用‘毫 米’测量什么？ ”“你想怎么研究‘分米’呢？ ”“可老师也不知道答案，大家说怎么办呢？”“好吧，那就让我们一起来试一试吧。”…… 张冬梅总是在课堂上给学生真正的自由——学习自由、操作自由、表达自由、思考自由、精神自由，也常常“伪装”成无知的模样，以亲和的姿态参与到学生的探索、求解、验证活动中。因此，她的课堂几乎是群体思维碰撞的产物，当有新发现时，师生都会不自觉地沉浸在创造的喜悦中。这就是“亲和数学”的智慧。
比如儿童的思维跳跃性很强，许多教师常被课堂上的“意外”难倒，而张冬梅却能抓住这些“偶然”，生成教学素材。她在执教苏教版四年级下册《角的度量》一课中，要求学生自己练习量角时，出现了一段小插曲：
小鹏：老师，我的量角器断了，我还有最后一个钝角没量呢。
师：哦！（稍顿）大家看，小鹏的量角器断成两半了，它还能用吗？
生1：那小半块应该不能用了，因为没有中心点了。
生 2：那就用大半块的量呀，上面不是有中心点，还有刻度吗？
生3：可是小鹏要量的是钝角呀，那大半块的量角器也不够量呀！
师：对呀！我们能不能想想办法解决这个问题呢？
（学生开始沉思，然后小声交流，不一会儿，方法有了。）
生1：先用三角板在钝角里画出一个直角，然后量余下的角的度数，量得的度数加上90°，就是这个钝角的度数。
生2：把这个钝角分成两个锐角，分别量出两个锐角的度数后相加。
生3：先把这个钝角补成一个平角，量出补上的角的度数，再用 180°相减就行了。
量角器断了，也可以生发出一个教育契机，引导学生发现新的量角方法，这恰是老师学科素养和教学智慧的生动体现。
新课标提出：“数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。”那么，如何在课堂教学中落实基本活动经验的逐步积累呢？张冬梅的一堂练习课能较好地回答这个问题。
上图是苏教版四年级上册的一道思考题，教材的意图是想让学生在操作中发现问题、体会规律。教学时，为了让学生能从中感悟数学思想、积累数学活动经验，张冬梅对教材进行了改造。
首先，她抛出问题“平面上有50个点（任意3个点不在一条直线上），过其中两点画一条直线，最多可以画多少条直线？”让学生自主探究，学生发现点太多而无从下手，这时，有学生提出可以从研究2个点或少数几个点开始，从中发现规律。张冬梅顺水推舟，让学生小组合作，选择自己喜欢的研究方式解决问题。
接着，她分别请两个小组展示本组的研究方法和过程，在此过程中，她不时提出“质疑”和“困惑”，使学生的研究更全面、更完善。随后，她引导学生对这两个小组的研究方法进行比较，得出共同点：都是先研究点比较少的情况，在此基础上研究50个点的规律。她充分肯定了学生的结论并最后总结道：“是的，先研究简单的情况，发现规律后再去解决复杂的问题，这是一种重要的数学思想和方法。”
张冬梅还引导学生运用数学的眼光观察生活、思考生活中的数学问题并记录下来，形成了一篇篇生动有趣的“数学童书”。 她把这些装满儿童智慧的文章结集成了一本本小册子，将其命名为《吾童数》。她在扉页上写道：“我们的语言也许稚嫩，我们的画笔也许笨拙，我们的想法也许不够成熟，我们的观点也许不够科学，但是我们的内心充满了对世界的好奇、对数学的向往！我们用我们的心灵，表达我们情不自禁的数学热情；我们用我们的《吾童数》，见证我们坚持不懈的数学思考！”这正是“亲和数学”追求的教学境界。
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